நம்பர்ஸெல்லாம் எங்களுக்கு ஈஸிங்க… பார்ட் – 2

சென்ற பதிவிலே… அதையே பார்ட் – 1 – ஆக வைத்துக் கொள்வோம்…. நாம் பார்த்தது என்ன? 0 மற்றும் 1 ஆகிய இரு எண்களை எடுத்துக்கொண்டு ஒரு வகையான எண்களின் தொடர்ச்சியினைக் கண்டு பிடித்தோம். ஆக்ச்சுவலா, நாம எதுவுமே கண்டு பிடிக்கலை. இத்தாலியில், பைசா நகரத்தைச் சேர்ந்த (பைசா நகரத்துச் சாய்ந்த கோபுரம் ஞாபகத்துக்கு வருதுங்களா? J) லெனார்டோ (எ) ஃபிபோனாச்சி என்பவர்தான் இத்தகைய எண்களின் வரிசையைக் கண்டுபிடித்தார். இது ஃபிபோனாச்சி சீரீஸ் (Fibonacci series) என்று மிகப் பிரபலமாக அறியப்பட்டுள்ளது. அப்படியென்ன ஸ்பெஷல் இந்த எண்களில் என்று கேட்கிறீர்களா? கொஞ்சம், கொஞ்சமாகப் பார்க்கலாம்… வாருங்கள்! பை தி வே, முதல் பதிவிலே பிழை திருத்தம் செய்திருக்கிறேன்.

“சொல்லில் குற்றமா? பொருளில் குற்றமா?”

“பொருளில்தான் குற்றம் உள்ளது”

அதைத்தான் நான் திருத்தியுள்ளேன். ஒரு தடவை படித்துப் பார்த்து விடுங்கள். (பார்ட் – 1 படிக்க இங்கே சொடுக்கவும்)

அதற்கு முன், முதல் பதிவிலே நான் கேட்டிருந்த கேள்விகளுக்கான பதில்கள் இதோ! சரி பார்த்துக் கொள்ளுங்கள்!

1.  ஃபிபோனாச்சி வரிசை எண்கள்

0 மற்றும் 1 – ஐ எடுத்து, இரண்டையும் கூட்டி,

வரும் விடையான 1 – உடன் முந்தைய எண்ணான 1-ஐக் கூட்டி,

இப்போது வரும் 2-உடன் முந்தைய எண்ணான 1-ஐக் கூட்டி,

இப்போது வரும் விடையான 3-உடன் முந்தைய எண்ணான 2-ஐக் கூட்டி,

இப்போது வரும் விடையான 3-உடன் முந்தைய எண்ணான 2-ஐக் கூட்டி,

இப்போது வரும் விடையான 5-உடன் முந்தைய எண்ணான 3-ஐக் கூட்டி,,,,,, ஷப்பாஆஆடாஆஆ….மிடில…. ரொம்ப சிம்பிள்ங்க… இதோ அந்த எண்கள்!

அட்டவணை 1 – யான் பெற்ற இன்பம் .. பெறுக இவ்வையகம்! ஃபிபோனாச்சி எண்கள் வரிசை

இப்படி தொடரி போல நீண்டு கொண்டே செல்கின்ற வரிசைக்கு 0 மற்றும் 1-தான் ஆரம்பப் புள்ளிகள். மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணை 1-இன் கடைசி நீள் வரிசையிலிருக்கும் 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … என்ற எண்களை கவனித்துப் பார்த்தீர்களேயானால், முதலிரண்டு எண்களான 0 மற்றும் 1-ஐத் தவிர மற்ற எண்கள் அனைத்துமே அதற்கு முந்தைய இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமைந்திருப்பதைப் பார்க்கலாம். இவ்வாறு இந்த ஃபிபோனாச்சி எண் வரிசையைக் கணக்கிடுவதுதான் முதல் படி. இன்னமும் நாம் பல்வேறு படிகளைக் கடக்க வேண்டியிருக்கிறது. இதிலிருந்து நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியவை நிறையவே இருக்கின்றன. அதிலே இரண்டு ஸ்பெஷல் காரணிகளை நீங்கள் அல்ரெடி கண்டுபிடித்து விட்டீர்கள். ஆம்! உங்களின் ஹோம்வொர்க்தான். விடை கண்டுபிடித்து விட்டீர்கள்தானே?

பகுதி 2 – அ மற்றும் ஆ

என்ன செய்யவேண்டுமெனச் சொல்லியிருந்தேன்?

//ஒரு எண்ணை அதற்கு முன்னால் உள்ள எண்ணால் வகுக்கவும்.

அதேபோல, ஒரு எண்ணை அதற்குப் பின்னால் உள்ள எண்ணால் வகுக்கவும்

//

முதலில் ஒன்று சொல்லியாக வேண்டும். இனிமேல் வரும் இந்தப் பயிற்சிகளுக்கு “0” தேவையில்லை. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …. என்ற வரிசையினை உபயோகித்துக் கொள்ளலாம்.

அடுத்து நான் இனி வரும் அட்டவணைகளில் குறிப்பிட்டிருக்கும் F1, F2, F3 என்பது என்னவென்று சொல்லி விடுகிறேன். எந்த ஓர் எண்ணை எடுத்துக் கொண்டாலும் அது F1 என்று அர்த்தம். அதற்கடுத்த எண் F2; மற்றும் மூன்றாவது எண் F3. அதாவது,

5 – F1 என்றால், 8 – F2; 13 – F3

21 – F1 என்றால், 34 – F2; 55 – F3. இது புரிகிறதா?

இப்போது பகுதி “2-அ” பயிற்சியில் ஒரு எண்ணை அதற்கு முன்னால் உள்ள பெரிய எண்ணால் வகுக்க வேண்டும். F1/F2

பகுதி “2-ஆ” பயிற்சியில் ஒரு எண்ணை அதற்குப் பின்னால் உள்ள சிறிய எண்ணால் வகுக்க வேண்டும். ரொம்ப சிம்ப்பிளாக F2/F1 என்று வைத்துக் கொள்வோம். இதோ அட்டவணை 2

அட்டவணை 2 – F1/F2 & F2/F1

F1/F2 என்று சிறிய எண்ணை, அதற்கடுத்தாற்போல் வரும் பெரிய எண்ணால் வகுக்கும்போது, முதல் ஏழு எண்களுக்குப் பிறகு 0.618 என்ற ரேஷியோவில் நிலை கொண்டு விட்டதைக் காணலாம். இதுதான் கணித உலகில் கோல்டன் ரேஷியோ (Golden ratio) எனப்படுகிறது.

F2/F1 என்று ஒரு பெரிய எண்ணை, அதற்குப் பின்னாலிருக்கும் சிறிய எண்ணால் வகுக்கும்போது, முதல் எட்டு எண்களுக்குப் பிறகு 1.618 என்ற ரேஷியோவில் நிலை கொண்டு விட்டதைப் பாருங்கள்!

இதுதானே உங்களின் விடையும்?

பகுதி 3 – F1/F3 & F3/F1

// என்ன ஒரு வித்தியாசமென்றால், ஒரு எண்ணை, அதற்கு இரண்டு எண்கள் முன்னால் உள்ள எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.//

இதனை F1/F3 என்று எழுதிக் கொள்ளலாம்தானே?

// ஒரு எண்ணை அதற்கு இரண்டு எண்கள் பின்னால் உள்ள எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.//

இது F3/F1 ஆகும். F1, F2 & F3 கான்செப்ட்டை ஏன் அறிமுகப்படுத்தினேனென்று இப்போது புரிகிறதா? இதோ அட்டவணை 3

அட்டவணை 3 – F1/F3 & F3/F1 ரேஷியோக்கள்

இந்த ரேஷியோக்களையும் பார்த்தால், F1/F3-யில் ஆறு வகுத்தல்களுக்குப் பிறகு, 0.382 என்றதொரு நிலையான ரேஷியோவில் நிற்கிறது. F3/F1-இல் எட்டு வகுத்தல்களுக்குப் பிறகு அனைத்துமே 2.618 என நிலை கொண்டுள்ளது.

நான் போட்டிருக்கும் கணக்கீடுகள் சரியா? உங்களின் விடைகளும், என்னுடைய விடைகளும் சரியாக அமைந்திருக்கின்றனவா?  நீங்கள் சரி பார்த்துச் சொல்லுங்கள், நான் சரியாகப் போட்டுள்ளேனா என்று!

இன்றைக்கு இத்துடன் போதும்….

வீட்டுப்பாடம்! சந்தோஷம்தானே?*****

 

அன்புடன்,

பாபு கோதண்டராமன்

பார்ட் 1

பார்ட் 3 (வரும்)

பார்ட் 4 (வரும்)